Акустические трубы: орган из ПВХ и резонанс воздушного столба

Пифагор открыл, что две натянутые струны дают гармоничный звук, если их длины относятся как целые числа. Это же правило — с той же математикой — управляет трубой органа, флейтой пикколо и… пластиковой трубой из хозмага.

Место в нарративной оси

Резонанс — одна из главных тем нарративной оси (Тесла). Труба — идеальный объект: в ней можно слышать гармоники по отдельности и измерить скорость звука с точностью 1–2%. Орган из ПВХ — рабочий музыкальный инструмент, который ученики могут сделать за урок. Труба Рийке соединяет акустику с термодинамикой — предшественник термоакустических двигателей.

Теория: стоячие волны в трубе

Открытая труба (обе стороны открыты)

На открытых концах — пучности давления (узлы смещения): воздух может свободно двигаться, давление = атмосферное.

Условие резонанса: длина трубы = целое число полуволн:

L = n · λ/2    →    λ = 2L/n    →    f = nv/(2L)

где n = 1, 2, 3... (номер гармоники)
    v = 343 м/с (скорость звука при 20°C)
    L — длина трубы

Все гармоники присутствуют: n = 1, 2, 3, 4… → богатый тембр (флейта, орган).

Закрытая труба (один конец закрыт)

На закрытом конце — узел давления (пучность смещения): воздух не может двигаться, давление максимально. На открытом конце — пучность давления (узел смещения).

L = n · λ/4    →    λ = 4L/n    →    f = nv/(4L)

но только для нечётных n: n = 1, 3, 5...

Только нечётные гармоники! Тембр «квинтовый», более «пустой» (кларнет, закрытые органные трубы).

Сравнение

Поправка на радиус (торцевая поправка)

Реальная труба ведёт себя чуть «длиннее», чем её физическая длина — из-за излучения на открытом конце:

L_эфф = L + 0,6 · r    (для каждого открытого конца)

При расчёте органных труб это важно — тюнинг смещается вверх на несколько герц.

Зависимость скорости звука от температуры

v = 331,3 · √(1 + T/273,15) ≈ 331 + 0,6·T    (м/с, T в °С)

При T = 20°C: v = 343 м/с. При T = 0°C: v = 331 м/с.

Орган «расстраивается» при изменении температуры. Разница между холодным (5°C) и тёплым (25°C) залом — около 12 центов (заметно на слух).

Опыт 1: Бутылка с водой (0 рублей)

Материалы: стеклянная бутылка 0,5 л, вода, смартфон с приложением-тюнером (GStrings, insTuner, Physics Toolbox Sensor Suite).

Ход работы:

1. Возьмите пустую бутылку, дуньте поперёк горлышка — найдите резонанс (техника как при игре на флейте)
2. Запишите частоту смартфоном: это f₁ (основной тон)
3. Налейте воду на ¼ объёма → снова дуньте → новая f
4. Налейте воду на ½, ¾ → записывайте частоты
5. Постройте график: f(h), где h — высота воздушного столба (расстояние от горлышка до поверхности воды)

Закономерность: по мере заполнения водой воздушный столб укорачивается → f растёт. При L₁ = 20 см → f ≈ 430 Гц; при L₂ = 10 см → f ≈ 860 Гц (октава выше).

Вычисление скорости звука:

Измерьте длину воздушного столба L (от поверхности воды до горлышка)
f₁ = v/(4L)  (закрытая труба — дно закрыто, горлышко открыто)
v = 4 · L · f₁

Сравните с теоретическим значением 343 м/с. Обычная погрешность — 5–10%.

Ансамбль из 8 бутылок: налейте воды так, чтобы получилась гамма до–ре–ми–фа–соль–ля–си–до. Рассчитайте необходимую длину воздушного столба: L = v/(4f).

Опыт 2: ПВХ-трубы — «органные трубы»

Расчёт длин труб для гаммы C-dur

Скорость звука v = 343 м/с (при 20°C). Открытая труба: L = v/(2f).

Материалы:

• ПВХ канализационная труба d=20 мм: 1,5 м стоит ~100 руб
• Ножовка по металлу (пластик режется легко)
• Отрезки бруска для крепления или шнур

Сборка:

1. Отрежьте 8 кусков трубы по расчётным длинам (+5–10 мм запас для подстройки)
2. Подвесьте на шнуре горизонтально (как ксилофон) или установите вертикально
3. Проверьте тюнером — если нота слишком низкая, укоротите трубу на 5 мм, повторите

Как играть: ударьте по торцу трубы мягкой резиновой тряпкой или ладонью — звук длинный, мелодичный (как трубчатые колокола). Один человек держит партитуру, другой играет — в паре можно исполнять простые мелодии.

Важно: после каждой подрезки проверяйте длину снова — отрезать можно, удлинить нельзя. Оставляйте запас и подходите к нужной ноте снизу.

Опыт 3: Трубы Рийке — самопроизвольное звучание

Это один из самых эффектных демонстрационных опытов в физике — труба начинает петь сама по себе от тепла, без источника механических колебаний.

Принцип (термоакустика)

Если в вертикальной открытой трубе нагреть металлическую сетку на расстоянии L/4 от нижнего конца, воздух начинает колебаться самопроизвольно.

Механизм (принцип Релея, 1878):

1. Нагретая сетка разогревает воздух, проходящий через неё
2. Горячий воздух расширяется → давление растёт в момент, когда давление стоячей волны и так растёт → колебание усиливается
3. Система уходит в самопроизвольные колебания — труба «поёт»

Условие Релея: источник тепла должен находиться в пучности скорости (узле давления), т.е. на L/4 от нижнего открытого конца.

Сборка

Вариант А (горячая сетка):

1. Трубка из жести или алюминия: d = 3–5 см, L = 30–60 см (обе стороны открыты, труба вертикальна)
2. Нержавеющая металлическая сетка (кухонная), скомканная в шар диаметром ≈ d трубки
3. Поместите сетку на расстоянии L/4 от нижнего конца (примерно 8–15 см)
4. Нагрейте сетку паяльником или зажигалкой 10–15 секунд прямо внутри трубы
5. Уберите источник тепла — труба продолжит петь 10–30 секунд

Вариант Б (постоянный нагрев):

1. Стеклянная колба или жестяная труба длиной ~50 см
2. Спиртовка или маленькая свеча под нижним отверстием
3. При правильном положении источника тепла труба поёт непрерывно (эффектная демонстрация для урока)

Почему это важно: прямой предшественник термоакустических двигателей — устройств, способных преобразовывать тепло в звук, а звук — обратно в электричество или холод. NASA использует термоакустические криогенные системы на спутниках.

Опыт 4: Рупор из бумаги

Принцип: рупор улучшает согласование акустического импеданса источника (смартфон) с нагрузкой (воздух).

Без рупора большая часть энергии отражается обратно (импеданс сильно не совпадает). С рупором — плавный переход, коэффициент отражения меньше → бо́льшая часть энергии излучается.

Быстрый эксперимент:

1. Заверните лист A4 в конус (узкий конец — 3 см, широкий — 25 см)
2. Приложите узкий конец к динамику смартфона
3. Измерьте громкость на расстоянии 1 м с рупором и без (приложение dB Meter или Physics Toolbox)

Ожидаемый результат: +3..+6 дБ, то есть в 2–4 раза по мощности звука.

Исторический контекст: именно этот принцип использовался в граммофонах (1887–1920-е) — механическая игла → мембрана → рупор. Никакого усилителя. Энергия поступала исключительно из механических колебаний иглы в бороздке.

Расчётный калькулятор длин труб

def pipe_length(freq, pipe_type='open', temp=20):
    """Рассчитать длину трубы для заданной частоты.
    pipe_type: 'open' (открытая) или 'closed' (закрытая)
    temp: температура воздуха в °C
    Возвращает длину в мм.
    """
    v = 331.3 * (1 + temp / 273.15) ** 0.5
    if pipe_type == 'open':
        return v / (2 * freq) * 1000
    else:
        return v / (4 * freq) * 1000

# Гамма С-dur, открытые трубы, 20°C:
notes = {
    'До (C4)': 261.6, 'Ре (D4)': 293.7, 'Ми (E4)': 329.6,
    'Фа (F4)': 349.2, 'Соль (G4)': 392.0, 'Ля (A4)': 440.0,
    'Си (B4)': 493.9, 'До (C5)': 523.3
}
for name, f in notes.items():
    print(f"{name}: {pipe_length(f):.0f} мм")

Гармоники: что слышно на спектрограмме

1. Запишите звук трубы на смартфон (приложение Spectroid или Spectrum Analyzer)
2. Вы увидите основной тон f₁ и обертоны 2f₁, 3f₁, 4f₁… с убывающей амплитудой
3. Сравните: открытая труба (все гармоники ≈ одинаковой яркости) vs закрытая труба (только нечётные, 2f₁, 4f₁… отсутствуют)
4. Это объясняет разницу тембра флейты (открытая) и кларнета (закрытая)

Вопросы для обсуждения

1. Почему флейта и кларнет имеют разный тембр при одинаковой ноте и близкой длине трубы?
2. Как фаготист извлекает низкое до из трубки длиной ~2,5 м — ведь по формуле это требует всего 65 см?
3. Почему орган в холодном соборе звучит ниже, чем в тёплом? Насколько заметно?
4. Что такое «воздушный столб» в медной трубе (тромбоне) — открытый или закрытый конец у мундштука?
5. Как термоакустический двигатель может работать без движущихся частей?

Связи с другими экспериментами

• string-harmonics — те же гармоники, другая среда: сравнить математику открытой струны и открытой трубы
• chladni-figures — двумерный аналог: стоячие волны на пластине, визуализация через песок
• singing-bowl — ещё один резонатор: тибетская поющая чаша, обертоны и биения
• sympathetic-resonance — резонанс между независимыми источниками (Тесла)
• vortex-rings — акустика и аэродинамика, вихревые кольца от ударов по трубе