Оптическая скамья: линзы, фокусное расстояние и формула тонкой линзы

Антони ван Левенгук никогда не учился в университете. Он был торговцем тканями в Делфте. Но он отшлифовал линзу с увеличением 270× — рекорд, который не могли превзойти 150 лет — и первым увидел бактерии, простейших и сперматозоиды. Всё это сделала одна маленькая стеклянная линза правильной формы.

Место в нарративной оси

Оптика — фундамент астрономии (без телескопа нет ни Галилея, ни открытия спутников Юпитера, ни Рёмера с его измерением скорости света). Формула тонкой линзы — первый пример строгой геометрической оптики, которая прямо ведёт к волновой оптике, дифракции и квантовой природе света.

Теория: формула тонкой линзы

Основная формула

1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ

где f  — фокусное расстояние (> 0 для собирающей, < 0 для рассеивающей)
    d₀ — расстояние от объекта до линзы (> 0)
    dᵢ — расстояние от линзы до изображения (> 0 действительное, < 0 мнимое)

Увеличение

M = -dᵢ/d₀    (линейное, поперечное увеличение)

|M| > 1 → изображение больше объекта
M < 0  → изображение перевёрнуто (действительное)
M > 0  → изображение прямое (мнимое, как в лупе)

Оптическая сила

D = 1/f    [диоптрии, если f в метрах]

Очки -3,0 дптр → f = -333 мм (рассеивающая, близорукость)
Лупа 10× → f ≈ 25 мм → D = +40 дптр

Формула для системы двух тонких линз (вплотную)

D_общ = D₁ + D₂    →    1/f_общ = 1/f₁ + 1/f₂

Сборка оптической скамьи

Вариант А: минимальный (200 руб)

Материалы:

• Деревянная рейка 1 м, 2×3 см (профиль «брусок», строительный магазин)
• Зажимы-бельеприщепки: 8–10 штук
• Лупа d=80 мм (f≈100 мм): 100–150 руб (канцтовары)
• Лупа d=40 мм (f≈50 мм): 50–100 руб
• Экран из белой бумаги, приклеенной к картону
• Лазерная указка (красная, 650 нм): 100–200 руб
• Линейка

Сборка:

1. Прищепками прикрепите держатели (из картона) к рейке — линзы, экран
2. Вертикальная щель для источника: два лезвия на картоне
3. Отверстие для лазерной указки — направленный луч

Вариант Б: точный (500–1000 руб)

Дополнительно к варианту А:

• Линза ахроматическая d=50 мм f=100 мм (Thorlabs, AliExpress): 300–500 руб
• Линза ахроматическая d=25 мм f=30 мм: 200–400 руб
• Микрометрические держатели (из картона + гайки M3): самодельные

STL-держатель линзы: в разделе «Собери сам» — параметрический держатель для линзы произвольного диаметра. Параметры: диаметр линзы, высота, ширина паза для рейки.

Опыт 1: Измерение f методом удалённого предмета

Принцип: если объект на расстоянии d₀ >> f, то d₀ → ∞, и:

1/f ≈ 1/dᵢ    →    f ≈ dᵢ

Изображение далёкого предмета формируется в задней фокальной плоскости линзы.

Ход работы:

1. Направьте линзу на окно (облака или дальнее здание, d₀ > 10 м)
2. Поместите экран позади линзы и перемещайте до получения чёткого изображения
3. Измерьте расстояние от линзы до экрана — это f (с точностью ~5%)
4. Повторите для 3–5 разных линз

Результаты:

Опыт 2: Метод Бесселя (точный)

Принцип: при фиксированном расстоянии между объектом и экраном D существуют два положения линзы, при которых на экране формируется чёткое изображение.

D = d₀ + dᵢ = const
d = |d₁ - d₂|  — расстояние между двумя положениями линзы

f = (D² - d²) / (4D)

Это более точный метод: не требует расстояния «до бесконечности», минимизирует систематическую ошибку.

Ход работы:

1. Установите объект (подсвеченная щель или буква) и экран на расстоянии D = 60–80 см
2. Найдите первое положение линзы (L₁): большое изображение на экране
3. Найдите второе положение линзы (L₂): маленькое изображение
4. Измерьте d = |L₁ - L₂|
5. Вычислите f по формуле

Сравните с методом удалённого предмета: какой точнее?

Опыт 3: Телескоп из двух линз

Схема (телескоп Кеплера):

[Объект] ——d₀——► [Объектив f₁] ——f₁——► [Фокус] ——f₂——► [Окуляр f₂] ——► [Глаз]

Угловое увеличение:

M = -f_obj / f_eye    (знак «-» → изображение перевёрнуто)

Пример: f_obj = 100 мм, f_eye = 20 мм → M = 5× (как бинокль 5×)

Расстояние между линзами: L = f_obj + f_eye (при наблюдении удалённых предметов)

Сборка:

1. Возьмите длинную линзу (большая лупа, f ≈ 100–200 мм) — это объектив
2. Короткую линзу (маленькая лупа или линза для чтения, f ≈ 20–50 мм) — окуляр
3. Закрепите на скамье, расстояние = f₁ + f₂
4. Наведите на предмет в 5–10 м — отрегулируйте расстояние между линзами

Дополнительно: Галилеевский телескоп (прямое изображение) — заменить окуляр на рассеивающую линзу. Расстояние = f_obj - |f_eye|.

Исторический контекст: Галилей в 1609 году построил телескоп 8–20× и направил на Луну, Юпитер (открыл 4 спутника), Млечный Путь. Кеплер в 1611 году предложил схему с двумя собирающими линзами — перевёрнутое, но более яркое изображение.

Опыт 4: Микроскоп из двух линз

Схема:

[Объект] —d₀≈f_obj+δ— [Объектив f_obj] —L— [Промеж.изобр.] —f_eye— [Окуляр] —► [Глаз]

Общее увеличение:

M = M_obj × M_eye = (L / f_obj) × (250 мм / f_eye)

где L — оптическая длина тубуса (расстояние от задней фокальной плоскости объектива до переднего фокуса окуляра), 250 мм — расстояние наилучшего зрения.

Пример: f_obj = 10 мм, f_eye = 25 мм, L = 160 мм (стандарт) → M = 16 × 10 = 160×

Минимальный вариант:

1. Объектив: маленькая лупа f = 25 мм или шарик из стекла (f ≈ R/2, очень сильный)
2. Окуляр: лупа f = 50 мм
3. Расстояние объект → объектив: чуть больше f_obj (30–40 мм)
4. Расстояние объектив → окуляр: ~200–250 мм
5. Предмет: крыло насекомого, лист бумаги, соль, сахар

Что разглядеть:

• Крыло мухи или бабочки: чешуйки, жилки
• Лист растения: устьица, клетки
• Соль: кубические кристаллы
• Газетный рисунок: точки растра
• Ткань: переплетение нитей

Историческая параллель: Левенгук достиг 270× с одной линзой (шарик d≈1 мм). Его записи о «зверушках» (бактериях) хранятся в Королевском обществе Лондона.

STL-генератор: параметрические держатели

Параметры:

• lens_diameter (мм): диаметр линзы (20–100 мм)
• rail_width (мм): ширина направляющей (20–30 мм)
• height (мм): общая высота держателя
• clamp_type: «pinch» (зажим) или «slot» (паз)

Напечатанный держатель позволяет:

• Быстро переставлять линзы вдоль рейки
• Фиксировать линзы под углом (для отклонения луча)
• Крепить экраны, диафрагмы, светофильтры

Скачать STL → параметры → генерация → скачать → печать.

Таблица: параметры собственных линз

Измерьте линзы, которые есть дома:

Вопросы для обсуждения

1. Почему лупа даёт увеличение, а рассеивающая линза — нет (нельзя использовать как лупу)?
2. Как работают очки: они не «фокусируют» на сетчатку — что именно они делают?
3. Почему микроскоп Левенгука из одной линзы мог давать 270×, а телескоп из двух — только 5–20× на тех же линзах?
4. Что ограничивает максимальное увеличение оптического микроскопа? (Дифракционный предел Аbbe)
5. Чем объектив смартфона отличается от простой линзы? (Дублеты, триплеты, аберрации)

Связи с другими экспериментами

• telescope-diy — телескоп как отдельный проект: зеркальный вариант (Ньютон), монтировка
• camera-obscura — камера-обскура: собирающая линза без окуляра, проекция
• diy-spectrograph — добавить спектрограф к объективу телескопа → звёздная спектроскопия
• averted-vision-lab — оптика глаза: хрусталик как тонкая линза с переменным f