Мандельбулб: трёхмерный фрактал

Что такое Мандельбулб?

Множество Мандельброта живёт на плоскости — это итерация $z \to z^2 + c$ в комплексных числах. В 1997 году Жюль Руис и Дэниел Уайт задались вопросом: можно ли поднять это в три измерения?

Ответ оказался нетривиальным. Комплексных чисел в 3D нет — кватернионы дают неинтересный результат. Уайт предложил другой путь: перейти к сферическим координатам и возводить в степень там.

Для точки $\mathbf{z} = (x, y, z)$:

$r = \|\mathbf{z}\|, \quad \theta = \arccos\frac{z}{r}, \quad \varphi = \arctan\frac{y}{x}$

$\mathbf{z}^n = r^n \cdot (\sin(n\theta)\cos(n\varphi),\ \sin(n\theta)\sin(n\varphi),\ \cos(n\theta))$

Итерация: $\mathbf{z} \to \mathbf{z}^n + \mathbf{c}$.

При $n = 8$ получается классический Мандельбулб — восьмикратная симметрия, похожий на морского ежа.

Как работает рендер

Рендер выполняется ray marching — алгоритмом трассировки лучей на основе оценки расстояния (Distance Estimation, DE).

Для каждого пикселя пускается луч из камеры. Функция DE оценивает, как далеко ближайшая поверхность фрактала. Луч шагает на это расстояние — и так итеративно до попадания или выхода за границу сцены.

Функция DE для Мандельбулба:

$DE(\mathbf{p}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{r \cdot \ln r}{|dr|}$

где $dr$ — производная нормы по итерациям. Всё вычисляется прямо на GPU в GLSL-шейдере.

Что можно исследовать

Степень $n$ — главный параметр. При $n = 2$ — шар. При $n = 3$ — «трезубец» с тройной симметрией. При $n = 8$ — классический Мандельбулб. При $n = 12$ — кристаллоподобная форма с двенадцатью «лепестками».

Пресеты:

• Классика ($n = 8$) — восьмикратная симметрия, стандартный вид
• Трезубец ($n = 3$) — три «рога», органическая форма
• Паук ($n = 6$) — шестилучевые выросты
• Кристалл ($n = 12$) — почти полностью заполненный шар с тонкими деталями

Связь с множеством Мандельброта

Сечение Мандельбулба плоскостью $z = 0$ при $n = 2$ даёт точную копию множества Мандельброта. Это проверочное свойство подтверждает, что конструкция Уайта — настоящее трёхмерное обобщение.

Однако важно понимать: Мандельбулб не является истинным 3D-аналогом с точки зрения алгебры. Это «феноменологическое» обобщение — красивое и самоподобное, но основанное на геометрическом, а не алгебраическом расширении. Поиск «настоящего» 3D Мандельброта остаётся открытой задачей.

Что почитать

• Daniel White, «The Unravelling of the Real 3D Mandelbulb» (2009) — оригинальная публикация на fractalforums.com
• Скотт Дрейвс и Эрик Рекламит, «The Fractal Flame Algorithm» (2008)
• Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (1982)
• shadertoy.com — тысячи GLSL-шейдеров с фракталами, в том числе Мандельбулб