Треугольник Серпинского: три дороги к одному фракталу

Одна фигура — три алгоритма

Вацлав Серпинский в 1915 году описал треугольник как математический объект — кривую, каждая точка которой является точкой ветвления. Построить его можно тремя совершенно разными способами.

Метод 1: деление

Шаг 0: нарисуй заполненный равносторонний треугольник. Шаг 1: найди середины всех трёх сторон, соедини их — получи четыре малых треугольника. Удали центральный (перевёрнутый). Шаг 2: повтори шаг 1 для каждого из трёх оставшихся. И так далее.

На уровне n сохраняются 3ⁿ треугольников, каждый со стороной (1/2)ⁿ от исходной. Площадь стремится к нулю. Периметр — к бесконечности.

Метод 2: игра хаоса

Возьми три вершины треугольника. Поставь точку — куда угодно внутри.

Алгоритм:

1. Брось кубик — случайно выбери одну из трёх вершин.
2. Переместись в точку, которая находится ровно посередине между текущей позицией и выбранной вершиной.
3. Поставь точку. Повтори с шага 1.

После 80 000 точек проявляется треугольник Серпинского — без единой линии, без явной геометрии в коде. Только случайные прыжки.

Это не магия. Каждое из трёх возможных сжатий (к вершине A, B или C) переводит точку в одну из трёх копий треугольника. Хаотичная последовательность этих сжатий покрывает весь аттрактор.

Метод 3: IFS (системы итерированных функций)

Определим три аффинных преобразования:

$f_A(x,y) = \frac{1}{2}(x,y), \quad f_B(x,y) = \frac{1}{2}(x,y) + \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right), \quad f_C(x,y) = \frac{1}{2}(x,y) + \left(\frac{1}{2}, 0\right)$

Аттрактор — единственное непустое компактное множество S, для которого:

$S = f_A(S) \cup f_B(S) \cup f_C(S)$

Это треугольник Серпинского. Теорема Хатчинсона (1981) гарантирует: для любой системы сжатий аттрактор существует, единственен, и итерации сходятся к нему из любой начальной точки.

Фрактальная размерность

Треугольник содержит 3 самоподобных копии себя, каждая уменьшена вдвое (коэффициент r = 1/2). По формуле Хаусдорфа:

$D = \frac{\log N}{\log(1/r)} = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585$

Это не целое число. Треугольник занимает больше одной прямой (D > 1), но меньше плоскости (D < 2). Он — между измерениями.

Ковёр Серпинского (квадратная версия): 8 копий при r = 1/3, D = log 8 / log 3 ≈ 1.893.

Связь с числом Паскаля

Если закрасить нечётные числа в треугольнике Паскаля — получится точная аппроксимация треугольника Серпинского. Причина: биномиальный коэффициент C(n,k) нечётен тогда и только тогда, когда в двоичной записи k нет ни одного бита, которого нет в n (критерий Люка, 1878).

Клеточный автомат «Правило 90» даёт тот же паттерн.

→ Фрактал Ньютона: бассейны притяжения — тоже аттракторы → Фрактальная антенна: та же геометрия самоподобия в физике