Фракталы в храмах: математика, которую строили тысячу лет
Большой вопрос
Почему в готическом соборе хочется остановиться и смотреть, а в типовой панельной девятиэтажке — поскорее уйти?
Один из ответов оказался математическим.
Шикхара: башня, которая содержит себя
Храм Кандарья-Махадева в Индии построен около 1030 года. Его башня-шикхара высотой 31 метр окружена 84 меньшими башнями — уменьшенными копиями главной. Те, в свою очередь, окружены ещё меньшими.
В 2007 году исследователи измерили фрактальную размерность этого храма и получили D = 1,87 — примерно столько же, сколько у картин Поллока в лучшие годы.
Это не совпадение. В традиции индуистского зодчества шикхара — образ горы Меру, оси мироздания. Её самоподобная структура — не декор, а теология в камне: часть содержит целое, малое отражает великое. Фрактальный принцип был закодирован в архитектурных трактатах за 900 лет до того, как Мандельброт дал ему имя.
Исламские своды: Пенроуз в XII веке
В 2007 году физики Питер Лу и Пол Стайнхардт опубликовали в журнале Science неожиданное открытие.
Они изучили плиточные орнаменты — гирих — исламских мечетей и дворцов XII–XV веков и обнаружили: эти узоры образуют квазикристаллические паттерны. Те самые, которые математик Роджер Пенроуз описал в 1974 году.
Исламские мастера опередили западную математику на 500 лет. Как — неизвестно.
Отдельная история — мукарны, сталактитовые своды. Каждая ниша порождает меньшие ниши внутри себя, те — ещё меньшие. Альгамбра, мечети Ирана, медресе Египта — везде одна и та же бесконечно убывающая структура.
Готика: украшай украшение
Готический портал содержит малые порталы. Большая арка — меньшие арки. Розетка — колесо в колесе. Аркбутаны повторяют форму сводов в миниатюре.
Готические архитекторы работали по неписаному принципу: украшай украшение. Каждый элемент обрастал более мелкими элементами той же формы. Это рекурсия — задолго до того, как математики её формализовали.
Православное зодчество
Кокошники — декоративные арки русских церквей — расположены ярусами. Нижний крупный. Следующий меньше. Ещё меньше. Каждый той же формы. Это наглядная рекурсия, которая ярус за ярусом переходит в купол.
Кижский погост (1714): 22 купола разных размеров, взаимно вписанных.
Собор Василия Блаженного: девять башен вокруг центральной — каждая с собственным куполом, каждая другого размера. Здание работает и издалека, и вблизи — нет одного «правильного» масштаба восприятия.
Количественных измерений фрактальной размерности для православной архитектуры пока нет. Это открытая область.
Почему?
Три возможных объяснения — и все три, вероятно, верны одновременно.
Психологическое. Человек эволюционировал среди деревьев, береговых линий, облаков. Все они фрактальны. Мозг воспринимает этот диапазон сложности как безопасный и живой. Физик Ричард Тейлор показал: фракталы с определённой размерностью снижают физиологические маркеры стресса примерно на 60%.
Теологическое. Во многих традициях часть, содержащая целое, — это образ бесконечного. Самоподобие — математическая форма понятия «в малом отражается великое».
Структурное. Рекурсия — естественный способ связать масштаб здания с масштабом человека. Если каждый уровень деталей подобен соседнему, здание воспринимается как единое — нет разрывов между «далеко» и «близко».
Антипод
Для сравнения: стеклянные параллелепипеды модернизма. Плоские фасады, прямые углы, никаких деталей между масштабом этажа и масштабом окна.
Математик Никос Салингарос называет это «биофильным дефицитом». Фрактальная размерность таких зданий значительно ниже природного диапазона. Отчуждение, которое люди ощущают в подобных пространствах, — возможно, именно это.
Опыт: измерь фрактальную размерность фасада
Метод называется box-counting — тот же, которым пользуются исследователи.
Материалы
- Распечатанная фотография фасада (чёрно-белая, формат А4)
- Листы миллиметровки или прозрачная плёнка с сеткой
- Линейка, карандаш
Или бесплатно: программа ImageJ с плагином FracLac.
Методика
- Наложите сетку с крупными клетками (32×32 мм). Посчитайте клетки, содержащие часть изображения — запишите N₁.
- Сетка вдвое мельче (16×16 мм) → N₂.
- Ещё мельче (8×8 мм) → N₃. Ещё (4×4 мм) → N₄.
- Постройте график: ось X — log(размер клетки), ось Y — log(N).
- Наклон прямой = фрактальная размерность D.
Что сравнить
Попробуйте на фото готического собора, православной церкви с кокошниками и обычного жилого дома без декора. Запишите D для каждого.
Вопрос для обсуждения: какое из зданий вы бы предпочли видеть из окна каждый день? Совпадает ли ваш ответ с тем, у которого выше D?
Итог
Великие храмы мира строились в разных культурах, разными людьми, без контакта друг с другом. Все они пришли к фрактальной структуре.
Случайно ли это — или в этом отражается что-то общее для всех людей? Мы не знаем. Мы только заметили, что это так.