Опыт Кавендиша: взвесить Землю крутильными весами

Идея

Ньютон в 1687 году открыл закон всемирного тяготения:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Но числа $G$ он не знал. Закон есть — константы нет.

Прошло 111 лет. Генри Кавендиш подвесил штангу с двумя свинцовыми шарами на тонкую нить и поднёс к ним два больших шара. Нить повернулась на угол, который можно измерить лучом отражённого света.

Из угла — сила. Из силы — $G$.

Кавендиш назвал это «взвешиванием Земли»: зная $G$, можно вычислить массу планеты. Он получил $G = 6{,}754 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг² — в 1% от современного значения. Через 225 лет мы до сих пор не можем измерить $G$ существенно точнее.

Физика: крутильные весы

Принцип работы: тонкая нить (кварцевое волокно, рыболовная леска) обладает известной константой кручения $\kappa_{wire}$. При отклонении штанги на угол $\theta$ нить создаёт возвращающий момент $\tau = \kappa_{wire} \cdot \theta$.

В равновесии этот момент равен гравитационному моменту от притяжения больших масс:

$\kappa_{wire} \cdot \theta = G \frac{M m}{r^2} \cdot L$

где $M$ — большая масса, $m$ — малая, $r$ — расстояние между центрами, $L$ — плечо штанги.

Отсюда:

$G = \frac{\kappa_{wire} \cdot \theta \cdot r^2}{M m L}$

Ключевая трудность: при $m = 100$ г, $M = 2$ кг, $r = 5$ см сила тяготения составляет около $5 \times 10^{-8}$ Н. Это в миллиард раз меньше веса самой штанги. Именно поэтому нужна нить с минимальной жёсткостью и полная изоляция от вибраций.

Измерение угла лазером

Зеркало на штанге отражает луч лазерной указки на экран. При повороте штанги на угол $\theta$ луч смещается на $2\theta$ (удвоение из-за закона отражения). При расстоянии до экрана $L_{screen} = 2$ м смещение луча составляет:

$\Delta x = 2\theta \cdot L_{screen}$

Для $\theta = 1$ мрад → $\Delta x = 4$ мм — хорошо видно.

Открытая проблема: «скандал с G»

$G = (6{,}67430 \pm 0{,}00015) \times 10^{-11}$ Н·м²/кг² — значение CODATA 2018.

Но вот что странно. Разные лаборатории получают значения, которые расходятся больше, чем их заявленные погрешности:

Разброс между лабораториями ~0,05% — это в 3–4 раза больше типичной погрешности отдельного эксперимента. Статистически это невозможно при правильных измерениях.

Возможные причины:

• Систематические ошибки, которые пока не идентифицированы
• Влияние сейсмического шума, тепловых конвекций, магнитных полей
• Гипотеза (экзотическая): $G$ действительно немного меняется — в зависимости от ориентации к галактическому центру, от времени года

Последнее пока не подтверждено, но и не опровергнуто.

$G$ — наименее точно известная фундаментальная константа физики. Скорость света $c$ известна точно (она определена). Постоянная Планка $h$ — с точностью $10^{-8}$ (теперь тоже определена). $G$ — только $10^{-5}$.

Оборудование

Итого: 500–3 000 руб.

STL-детали для печати

• Держатель нити с регулировкой натяжения
• Кронштейн для больших масс с фиксированным позиционированием
• Корпус с прорезью для лазерного луча

Опыты

Уровень 1: качественная демонстрация

Цель: увидеть отклонение — доказать, что гравитация между лабораторными массами существует и измерима.

1. Собрать крутильные весы. Дать системе успокоиться (30–60 мин).
2. Направить лазер на зеркало, отметить положение пятна на экране.
3. Медленно, без вибраций, придвинуть большие массы.
4. Наблюдать медленное смещение лазерного пятна — занимает 5–15 минут.

Результат: видимое отклонение на несколько миллиметров. $G$ не вычисляется, но факт гравитационного взаимодействия между лабораторными предметами доказан.

Уровень 2: измерение G методом отклонения

Цель: получить численное значение $G$ с точностью 5–20%.

Протокол:

1. Измерить период собственных колебаний маятника $T$ (без больших масс): $\kappa_{wire} = \frac{4\pi^2 I}{T^2}$ где $I = mL^2/2$ — момент инерции штанги (упрощённо).

2. Придвинуть большие массы. Дождаться нового равновесия.

3. Измерить угол отклонения $\theta$ по смещению лазерного пятна.

4. Вычислить $G$ по формуле крутильных весов.

Типичный результат для школьной установки: $G = (6{,}5 \pm 1{,}5) \times 10^{-11}$ Н·м²/кг² — в пределах 10% от табличного значения.

Уровень 3: метод резонанса (точнее)

Кавендиш на самом деле использовал метод, основанный на изменении периода колебаний, а не просто статическое отклонение. Это точнее, потому что не требует знания $\kappa_{wire}$.

При больших массах в ближней позиции период колебаний $T_1$ отличается от периода $T_2$ в дальней позиции. Из соотношения периодов вычисляется $G$ без промежуточного измерения жёсткости нити.

$G = \frac{4\pi^2 r^3}{M} \cdot \frac{T_1^2 - T_2^2}{T_1^2 T_2^2} \cdot \text{(геом. коэффициент)}$

Это убирает один из основных источников ошибки и позволяет достичь точности 1–3%.

Уровень 4 (citizen science): проверить «скандал с G»

Вопрос: зависит ли измеренное значение $G$ от:

• времени суток (лунный прилив)?
• ориентации прибора (север-юг vs. восток-запад)?
• сезона?

Все профессиональные лаборатории работают в подвалах с антивибрационными столами. Школьная установка этого не имеет — но именно поэтому интересна как «шумный» детектор систематических эффектов.

Загрузить на платформу: дата, время, координаты, ориентация, полученное $G$. Сравнить с другими школами.

История: Кавендиш и его странности

Генри Кавендиш (1731–1810) — один из самых эксцентричных учёных в истории.

Наследник огромного состояния, он жил как отшельник. С женщинами не разговаривал принципиально — даже с прислугой общался только записками. Большую часть жизни провёл в двух смежных домах: один был домом, другой — лабораторией.

Он открыл водород, установил состав воды и воздуха — и не публиковал результаты десятилетиями. После его смерти обнаружили рукописи с открытиями, опередившими Фарадея, Ома и Кулона на 50–100 лет.

Крутильные весы он строил в 1797–1798 году, когда ему было 66 лет. Наблюдения занимали ночи напролёт: Кавендиш наблюдал через трубу, не входя в комнату с прибором, чтобы не создавать конвективных токов воздуха.

Связь с нарративной осью

$G$ — единственная фундаментальная константа, которую мы до сих пор не можем измерить точно. В то время как $c$, $h$, $e$, $k_B$, $N_A$ с 2019 года определены как точные числа, $G$ стоит в стороне.

Почему? Потому что гравитация не квантуется. Она существует в отдельном мире — и пока теория квантовой гравитации не создана, мы не знаем, как $G$ связана с остальными константами.

$G$ — это зазор между двумя великими теориями XX века: квантовой механикой и общей теорией относительности.

→ Три щели: трогаем руками фундамент квантовой механики: аксиомы квантовой механики тоже проверяются руками → Постоянная Планка из светодиодов: рождение квантовой физики на столе: $h$ — тоже постулат, но измеренный куда точнее → Резонанс по Тесла: механический, электрический, акустический: и Тесла, и Кавендиш работали с силами, невидимыми глазу → Пенроуз: квантовая гравитация — граница, где $G$ встретится с $h$

Вопросы для обсуждения

1. Кавендиш измерял угол в несколько угловых минут — и получил массу Земли с точностью 1%. При этом он работал в неотапливаемой комнате, ночами, через трубу, чтобы не создавать конвекции своим теплом. Что это говорит о соотношении точности прибора и тщательности экспериментатора?

2. Разные лаборатории мира получают значения G, которые расходятся больше, чем их заявленные погрешности. Это означает, что у кого-то из них есть неучтённая систематическая ошибка. Как отличить «мы ошиблись» от «G действительно немного меняется»?

3. Скорость света $c$, постоянная Планка $h$, заряд электрона $e$, постоянная Больцмана $k_B$ — все они с 1983–2019 годов стали точными определениями. $G$ — нет. Почему именно гравитационная константа не поддаётся «заморозке»?

4. Кавендиш оставил в рукописях открытия Фарадея, Ома и Кулона — за 50–100 лет до их публикации этими учёными. Какова цена научной работы, которая не опубликована? Что теряет наука, когда результат остаётся в ящике стола?

5. Если бы $G$ оказалась чуть больше — Вселенная коллапсировала бы слишком быстро. Чуть меньше — звёзды не сформировались бы. Это та же «тонкая настройка», что и у постоянной $\alpha$. Означает ли это, что физические константы как-то связаны между собой, или каждая независима?